Lineare Algebra Beispiele

[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$

Schritt 1

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung

p (λ)

$p (λ)$ zu ermitteln.

p (λ) = Determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{2})$

Schritt 2

Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe

2

$2$ ist die

2 \times 2

$2 \times 2$ Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.

[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in

p (λ) = Determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{2})$ ein.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Ersetze

A

$A$ durch

[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] - λ I_{2})

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] - λ I_{2})$

Schritt 3.2

Ersetze

I_{2}

$I_{2}$ durch

[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Multipliziere

- λ

$- λ$ mit jedem Element der Matrix.

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

1

$1$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2

Multipliziere

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.2.1

Mutltipliziere

0

$0$ mit

- 1

$- 1$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2.2

Mutltipliziere

0

$0$ mit

λ

$λ$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3

Multipliziere

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere

0

$0$ mit

- 1

$- 1$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3.2

Mutltipliziere

0

$0$ mit

λ

$λ$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.4

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

1

$1$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Schritt 4.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3

Simplify each element.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Addiere

1

$1$ und

0

$0$ .

p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Addiere

3

$3$ und

0

$0$ .

p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 3 & 2 - λ \end{array}]

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 3 & 2 - λ \end{array}]$

p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 3 & 2 - λ \end{array}]

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 3 & 2 - λ \end{array}]$

p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 3 & 2 - λ \end{array}]

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 3 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 5

Find the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

p (λ) = (2 - λ) (2 - λ) - 3 \cdot 1

$p (λ) = (2 - λ) (2 - λ) - 3 \cdot 1$

Schritt 5.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Multipliziere

(2 - λ) (2 - λ)

$(2 - λ) (2 - λ)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

p (λ) = 2 (2 - λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot 1

$p (λ) = 2 (2 - λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot 1$

Schritt 5.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

p (λ) = 2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot 1

$p (λ) = 2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot 1$

Schritt 5.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

p (λ) = 2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 1

$p (λ) = 2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

p (λ) = 2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 1

$p (λ) = 2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

Schritt 5.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.2.1.1

Mutltipliziere

2

$2$ mit

2

$2$ .

p (λ) = 4 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 1

$p (λ) = 4 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

Schritt 5.2.1.2.1.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

2

$2$ .

p (λ) = 4 - 2 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 1

$p (λ) = 4 - 2 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

Schritt 5.2.1.2.1.3

Mutltipliziere

2

$2$ mit

- 1

$- 1$ .

p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 1

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

Schritt 5.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 1

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 1$

Schritt 5.2.1.2.1.5

Multipliziere

λ

$λ$ mit

λ

$λ$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.2.1.5.1

Bewege

λ

$λ$ .

p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 1

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 1$

Schritt 5.2.1.2.1.5.2

Mutltipliziere

λ

$λ$ mit

λ

$λ$ .

p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 1

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 1$

p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 1

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 1$

Schritt 5.2.1.2.1.6

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 1

$- 1$ .

p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 1

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 1$

Schritt 5.2.1.2.1.7

Mutltipliziere

λ^{2}

$λ^{2}$ mit

1

$1$ .

p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ + λ^{2} - 3 \cdot 1

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ + λ^{2} - 3 \cdot 1$

p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ + λ^{2} - 3 \cdot 1

$p (λ) = 4 - 2 λ - 2 λ + λ^{2} - 3 \cdot 1$

Schritt 5.2.1.2.2

Subtrahiere

2 λ

$2 λ$ von

- 2 λ

$- 2 λ$ .

p (λ) = 4 - 4 λ + λ^{2} - 3 \cdot 1

$p (λ) = 4 - 4 λ + λ^{2} - 3 \cdot 1$

p (λ) = 4 - 4 λ + λ^{2} - 3 \cdot 1

$p (λ) = 4 - 4 λ + λ^{2} - 3 \cdot 1$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere

- 3

$- 3$ mit

1

$1$ .

p (λ) = 4 - 4 λ + λ^{2} - 3

$p (λ) = 4 - 4 λ + λ^{2} - 3$

p (λ) = 4 - 4 λ + λ^{2} - 3

$p (λ) = 4 - 4 λ + λ^{2} - 3$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere

3

$3$ von

4

$4$ .

p (λ) = - 4 λ + λ^{2} + 1

$p (λ) = - 4 λ + λ^{2} + 1$

Schritt 5.2.3

Stelle

- 4 λ

$- 4 λ$ und

λ^{2}

$λ^{2}$ um.

p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 1

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 1$

p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 1

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 1$

p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 1

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 1$

Schritt 6

Setze das charakteristische Polynom gleich

0

$0$ , um die Eigenwerte

λ

$λ$ zu ermitteln.

λ^{2} - 4 λ + 1 = 0

$λ^{2} - 4 λ + 1 = 0$

Schritt 7

Löse nach

λ

$λ$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7.2

Setze die Werte

a = 1

$a = 1$ ,

b = - 4

$b = - 4$ und

c = 1

$c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach

λ

$λ$ auf.

\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1.1

Potenziere

- 4

$- 4$ mit

2

$2$ .

λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.2

Multipliziere

- 4 \cdot 1 \cdot 1

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1.2.1

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

1

$1$ .

λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.2.2

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

1

$1$ .

λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.3

Subtrahiere

4

$4$ von

16

$16$ .

λ = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.4

Schreibe

12

$12$ als

2^{2} \cdot 3

$2^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1.4.1

Faktorisiere

4

$4$ aus

12

$12$ heraus.

λ = \frac{4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.4.2

Schreibe

4

$4$ als

2^{2}

$2^{2}$ um.

λ = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

λ = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

λ = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

λ = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere

2

$2$ mit

1

$1$ .

λ = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}

$λ = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.3.3

Vereinfache

\frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

λ = 2 \pm \sqrt{3}

$λ = 2 \pm \sqrt{3}$

λ = 2 \pm \sqrt{3}

$λ = 2 \pm \sqrt{3}$

Schritt 7.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

λ = 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}

$λ = 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$

λ = 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}

$λ = 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

λ = 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}

$λ = 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$

Dezimalform:

λ = 3.73205080 \dots, 0.26794919 \dots

$λ = 3.73205080 \dots, 0.26794919 \dots$